IL CONNETTIVO AND

La congiunzione e, indicata con il simbolo ∧ oppure con l'inglese AND, è un connettivo. In logica matematica un connettivo congiunge due affermazioni, per esempio quelle costruite con i predicati o le loro negazioni. In questo modo si ottiene una nuova affermazione.
Per esempio, congiungendo PARI(10) e DISPARI(5) si ottiene l'affermazione PARI(10) ∧ DISPARI(5) che va letta come "il numero 10 è pari e il numero 5 è dispari".
Le due affermazioni non devono necessariamente avere significati affini:
PARI(10) ∧ ALBERO(cellulare) è un'affermazione costruita correttamente che va letta come "il numero 10 è pari e il cellulare è un albero".

Il punto centrale è capire quando un'affermazione costruita con una congiunzione è vera e quando è falsa. Davanti all'affermazione precedente PARI(10) ∧ ALBERO(cellulare) la maggior parte di noi può essere portato a dire qualcosa come "la frase è metà vera e metà falsa". In logica matematica si stabilisce invece che una congiunzione è vera solamente nel caso in cui entrambi i predicati sono veri. Quindi, riassumendo, la congiunzione COLORE(finestra) ∧ 2+2=3 è falsa perché i predicati sono entrambi falsi, COLORE(finestra) ∧ 2+2=4 è falsa perché uno dei due predicati è falso mentre COLORE(rosso) ∧ 2+2=4 è vera perché entrambi i predicati sono veri. La tabella seguente - chiamata normalmente tavola di verità - esprime meglio la situazione, dove A e B indicano predicati qualsiasi.

Altri esempi sono:

• PARI(8) ∧ ¬PARI(9) si traduce come "il numero 8 è pari e il numero 9 non è pari" che è vera;
• ¬ALBERO(quercia) ∧ ANIMALE(cane) si traduce come "la quercia non è un albero e il cane è un animale" che è falsa.

Suggeriamo, nell'affrontare la ∧ con la classe, di non presentarla subito come un simbolo che traduca fedelmente la congiunzione "e" ma lasciare che le analogie emergano gradualmente. Quando la classe avrà sviluppato una certa consapevolezza del simbolo si possono sottolineare i punti in comune ma anche le differenze con la "e" usata nel linguaggio corrente. Per esempio, spesso la e si usa nelle liste dove non vengono congiunte due affermazioni: le città più popolose di Italia sono Roma, Napoli e Milano; oppure i numeri si distinguono in pari e dispari. Infine, nel linguaggio corrente usiamo spesso anche altri vocaboli che sul piano logico corrispondono alla ∧, come il "ma" (fa freddo ma è sereno) ed il "mentre"(5 è dispari mentre 4 no).

IL CIRCUITO CON L’AND

Per intrdourre la ∧, consigliamo di riprendere l'idea dei circuiti vista nell'ATTIVITÀ INDOVIENNLI E CIRCUITI. Il circuito sarà percorso simultaneamente da più studenti che formano una squadra: se nel cerchio rosso (che è sempre uno) riesce ad arrivare un cavaliere vincono tutti i giocatori che hanno preso parte al circuito. Si introduce inoltre il nuovo simbolo AND: lo studente che indosserà quel simbolo sarà in un hula hoop con due corde “in entrata” ed una “in uscita”. La "Signora AND" o il "Signor And" preferisce i furfanti: se vede arrivare due furfanti fa passare uno dei due a sua scelta, se arrivano un furfante ed un cavaliere fa il furfante e se vede arrivare due cavalieri sarà costretto, in mancanza di furfanti, a far passare uno dei due cavalieri
La strategia vincente in questo caso è partire entrambi cavalieri: se anche uno solo dei due parte furfante, come nell'esempio in figura, nel cerchio rosso arriverà un furfante.

Si nota quindi l'analogia con la tavola di verità della ∧: così come si vince al circuito solo se entrambi i giocatori sono cavalieri, così la ∧ è verificata solo se entrambi i predicati sono veri.

Le regole del gioco possono essere cambiate: invece di far arrivare un cavaliere nel cerchio rosso, l'obiettivo diventa farci arrivare un furfante.
Se si vuole far ripassare alla classe i circuiti, si possono consegnare gli esercizi esercizi_circuiti_and.pdf che si trovano nella sezione ALLEGATI.

INTRODURRE LA "E" IN CLASSE

Quando si introduce il connettivo in classe, è importante porre molta attenzione alla parola entrambi. Infatti la frase costruita con l'AND è vera se e solo se entrambi i predicati sono veri. Per aiutare l'apprendimento, si possono consegnare alla classe esercizi come quelli suggeriti in esercizi_and.pdf oppure esercizi dove ci sono espressioni da completare, dette da furfanti o cavalieri. Per esempio se un furfante dice "ANIMALE (cavallo) ∧ ANIMALE (x)" allora x dovrà necessariamente essere qualcosa che non è un animale, mentre se il furfante dice "ANIMALE (sedia) ∧ ANIMALE (x)" allora al posto di x si potrà mettere sia un animale che una qualnque altra cosa: la frase è già resa falsa da ANIMALE (sedia). In maniera simile, se un cavaliere dice "ANIMALE (cavallo) ∧ ANIMALE(x)" allora al posto della x dovremo necessariamente mettere un animale, mentre un cavaliere non potrà mai dire "ANIMALE (sedia) ∧ ANIMALE (x)", a prescindere da cosa sia x.

IL CONNETTIVO OR

La disgiunzione o, indicata con il simbolo ∨ oppure con l'inglese OR, è un connettivo. In logica un connettivo congiugne due affermazioni, per esempio quelle costruite con i predicati o le loro negazioni. In questo modo si ottiene una nuova affermazione.
Così, partendo da PARI(2) e DISPARI(5) si ottiene l'affermazione PARI(2) ∨ DISPARI(5) che va letta come "il numero 2 è pari oppure il numero 5 è dispari".
Le due affermazioni non devono necessariamente avere significati affini: 
PARI(10) ∨ ALBERO(cellulare) è un'affermazione costruita correttamente che va letta come "il numero 10 è pari oppure il cellulare è un albero".

Il punto centrale è capire quando un'affermazione costruita con una disgiunzione è vera e quando è falsa. In logica matematica si stabilisce che una disgiunzione è vera se almeno uno dei due predicati è vero. In altre parole la ∨ è falsa soltanto quando entrambi i predicati sono falsi. Quindi, riassumendo, la disgiunzione COLORE(finestra) ∨ 2+2=3 è falsa perché entrambi i predicati sono falsi, mentre sia COLORE(finestra) ∨ 2+2=4 sia COLORE(verde) ∨ 2+2=4 sono vere perché in entrambi i casi vi è almeno un predicato vero. La tabella seguente - chiamata normalmente tavola di verità - esprime meglio la situazione, dove A e B indicano predicati qualsiasi.

Altri esempi sono:

• PARI(7) ∨ ¬PRIMO(10) si traduce come "il numero 7 è pari oppure il numero 10 non è primo" che è vera;
• ¬ALBERO(quercia) ∨ ANIMALE(divano) si traduce come "la quercia non è un albero oppure il divano è un animale" che è falsa.

Suggeriamo, nell'affrontare la ∨ con la classe, di non presentarla subito come un simbolo che traduca fedelmente la disgiunzione "o" ma lasciare che le analogie emergano gradualmente. Quando la classe avrà sviluppato una certa consapevolezza del simbolo si possono sottolineare i punti in comune ma anche le differenze con la "o" usata nel linguaggio corrente. In particolare, la o ha spesso significato esclusivo: "vuoi una pera o una banana?" spesso esclude la possibilità che si possano avere entrambe. Ancora più chiara è la frase "il prossimo week-end andrò al mare o in montagna", sicuramente non si andrà in entrambi i posti. In logica la ∨ ha invece valore inclusivo - il simbolo ∨ deriva dal latino vel che si contrappone all'esclusivo aut. In alcune situazioni della vita quotidiana, risulta chiaro l'uso del vel: se in un cartello stradale si raccomanda prudenza "in caso di nebbia o neve", la raccomandazione vale a maggior ragione se ci sono sia nebbia sia neve!
In italiano, per indicare il vel, alcune volte si usa la non particolarmente elegante espressione "e/o", a sottolineare che anche entrambe le affermazioni possono essere contemporaneamente vere.

IL CIRCUITO CON L’OR

Il circuito sarà percorso simultaneamente da più studenti che formano una squadra: se nel cerchio rosso (che è sempre uno) riesce ad arrivare un cavaliere vincono tutti i giocatori che hanno preso parte al circuito. Si presenta il nuovo simbolo OR: lo studente che indossa quel simbolo è in un hula-hoop con due corde “in entrata” ed una “in uscita”. Lo “studente OR” preferisce i cavalieri: se vede arrivare due cavalieri fa passare uno dei due a sua scelta, se vede arrivare un furfante ed un cavaliere fa passare il cavaliere e se vede arrivare due furfanti è costretto, suo malgrado, a far passare un furfante.
In questo caso abbiamo più strategie vincenti: per vincere basterà che almeno uno dei due studenti sia un cavaliere e si vince quindi in tre casi differenti. L'unico caso che porta la squadra a perdere è quello in cui entrambi gli studenti decidano di partire da furfanti.

Si nota quindi l'analogia con la tavola di verità della ∨: così come si vince al circuito se almeno uno dei due giocatori è un cavaliere, così la ∨ è verificata se almeno uno dei predicati è vero.

Le regole del gioco possono essere cambiate: invece di far arrivare un cavaliere nel cerchio rosso, l'obiettivo diventa farci arrivare un furfante.
Se si vuole far ripassare alla classe i circuiti, si possono consegnare gli esercizi esercizi_circuiti_or.pdf che si trovano nella sezione ALLEGATI.

IL GIOCO DELLE VARIABILI CON LA ∧

Si riprende il gioco visto nell'attività Le variabili con l'aggiunta della nuova carta ∧ che si trova pronta da stampare nella sezione ALLEGATI (carta_and.pdf).
Si aggiunge la regola di usare il simbolo AND fra due predicati ottenendo una nuova scrittura come quella mostrata di seguito.

Quando si sostituisce una costante alla x, la costante deve essere la stessa in entrambi i predicati. Si tratta quindi di trovare un numero che soddisfi entrambe le condizioni. Nel caso mostrato in figura, le soluzioni possibili sono 0, 2, 4.

IL GIOCO DELLE VARIABILI CON LA ∨

Si riprende il gioco visto nell'attività Le variabili con l'aggiunta della nuova carta ∨ che si trova pronta da stampare nella sezione ALLEGATI (carta_or.pdf).
Si aggiunge la regola di usare il simbolo OR fra due predicati ottenendo una nuova scrittura come quella mostrata di seguito.

Quando si sostituisce una costante alla x, la costante deve essere la stessa in entrambi i predicati. Si tratta quindi di trovare un numero che soddisfi almeno una delle due condizioni. Nel caso mostrato in figura, vanno bene 1 (perché soddisfa la seconda condizione) e tutti i numeri pari. In particolare, lo 0 soddisfa entrambe le condizioni.

INTRODURRE LA "O" IN CLASSE

Consigliamo, come in altri casi, di introdurre il connettivo con cautela. Nel farlo bisogna porre molta attenzione alle parole almeno uno - presentandole magari prima del connettivo stesso. Infatti la frase costruita con l'OR è vera se e solo se almeno uno dei predicati è vero. Per aiutare l'apprendimento, si possono consegnare alla classe esercizi come quelli suggeriti in esercizi_or.pdf  oppure esercizi dove ci sono espressioni da completare, dette da furfanti o cavalieri. Per esempio se un furfante dice "ANIMALE (scatola) ∨ ANIMALE (x)" allora x dovrà necessariamente essere qualcosa che non è un animale, mentre il furfante non potrà mai dire "ANIMALE (giraffa) ∨ ANIMALE (x)" indipendentemente da cosa sia x, perché la frase ormai è resa vera da ANIMALE (giraffa). In maniera simile, se un cavaliere dice "ANIMALE (cavallo) ∨ ANIMALE(x)" allora al posto della x si può mettere qualsiasi cosa, mentre se un cavaliere dice "ANIMALE (sedia) ∨ ANIMALE (x)" allora al posto di x si dovrà necessariamente mettere un animale.

ARGOMENTARE CON "E" ED "O"

Un aspetto importante riguarda la discussione fra due persone che hanno pareri diversi su un'affermazione costruita con un ∧.
Si consideri l'esempio in cui una persona afferma "COLORE(rosso) ∧ 3 + 3 = 5": se un interlocutore non è d'accordo vuol dire che ritiene che almeno un predicato fra COLORE(rosso) è 3 + 3 = 5 sia falso. Quindi l'interlocutore replicherà alla prima persona che ha fatto l'affermazione dicendo "Non è vero che COLORE(rosso) ∧ 3 + 3 = 5 perché 3 + 3 non fa 5".

Un discorso analogo può essere fatto per la discussione fra due persone che hanno pareri diversi su un'affermazione costruita con un ∨.
Si consideri l'esempio in cui una persona afferma "PARI (7) ∨ DISPARI (5)": se un interlocutore non è d'accordo vuol dire che ritiene che entrambi i predicati PARI (7) e DISPARI (5) siano falsi. Quindi l'interlocutore replicherà alla prima persona che ha fatto l'affermazione chiedendo quale delle due parti sia vera: "Se tu sostieni che PARI (7) ∨ DISPARI (5) sai indicarmi quale delle due è quella vera?". La prima persona risponderà alla domanda dicendo "PARI (7) ∨ DISPARI (5) perché 5 è dispari". In questo caso, ha ragione la persona che ha parlato per prima, perché effettivamente 5 è un numero dispari.

In generale:

• ogni volta che non si è d'accordo con un'affermazione costruita con una "E", bisogna specificare quale delle due parti che sono congiunte è falsa (nel caso fossero entrambe false, basterà indicarne una a propria scelta);
• ogni volta che non si è d'accordo con un'affermazione costruita con una "O", bisogna chiedere quale delle due parti che sono congiunte è vera.

Il discorso è intimamente legato a quanto si trova in Due nuovi simboli - ZERMELO.

BUL GAME

Un'attività conclusiva da svolgere alla L.I.M. o con computer o tablet per ogni studente, è il gioco BUL GAME (disponibile su www.oiler.education/bul). Nel menù principale si selezionano le tipologie VERO&FALSO, PREDICATI, NEGAZIONE, AND e OR. Si può scegliere se inserire predicati di cultura generale - e.g. ANIMALE (tigre) - o predicati matematici - e.g. 3+2=5.