Questa domanda è tipica nei colloqui di lavoro e le risposte possibili sono tante: la cosa importante è che ogni risposta può essere più o meno attuabile a seconda delle circostanze, dunque è bene fornire più alternative.
La prima idea che viene in mente è utilizzare il barometro per la funzione per cui è stato concepito: misurare la pressione. Dato che la pressione atmosferica diminuisce con l'altezza, si misura la pressione alla base del palazzo e alla sommità e, con qualche calcolo, si giunge al risultato.
La seconda opzione è buttare giù dal palazzo il barometro e contare il tempo che impiega a toccare il suolo (chiaramente avremo bisogno di un cronometro qualora venisse richiesta precisione nella misura).
La terza opzione è quella, utilizzando le ombre, di fare una proporzione fra ombra del barometro e ombra del palazzo: chiaramente avremo bisogno di un metro, ma è sicuramente più facile misurare lunghezze orizzontali che verticali.
Una quarta opzione è quella di misurare il palazzo in "barometri", riportando il barometro per tutta la altezza del palazzo. Una variante un poco più raffinata di questa risposta è quella di misurare un gradino in barometri, contare quanti gradini ci sono e fare il calcolo.

Queste sono solo alcune idee, ma chiaramente ce ne possono essere tante altre ancora!