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Per arrivare alla soluzione vi sono più metodi, in seguito ne mostriamo due.
Primo metodo
In un primo tempo non consideriamo il terzo lancio di Amedeo, cioè pensiamo che ciascuno dei due giocatori lanci la moneta 2 volte. Ci sono tre possibilità:
- Pio ottiene più volte l'immagine di Amedeo
- Amedeo ottiene più volte l'immagine di Pio
- Pio e Amedeo ottengono lo stesso numero di immagini
Torniamo ora a prendere in considerazione il terzo lancio di Amedeo.
Nel primo caso (i.e. Pio ottiene più immagini di Amedeo nei primi due lanci) vincerà Pio, qualunque sia l’esito del terzo lancio di Amedeo (che al massimo può pareggiare il numero di immagini ottenute da Pio).
Nel secondo caso (i.e. Amedeo realizza più immagini di Pio) vincerà Amedeo, qualunque sia l’esito del suo terzo lancio (ha già ottenuto più immagini di Pio).
Nel terzo caso (i.e. Pio e Amedeo ottengono lo stesso numero di immagini) vincerà Amedeo se e solo se nel suo terzo lancio otterrà l'immagine (fatto che ha probabilità 1/2).
I primi due casi hanno, chiaramente, la stessa probabilità (sono simmetrici); chiamiamola p, senza calcolarla. Di conseguenza, la probabilità che si verifichi l’ultimo caso è 1-2p.
In definitiva, la probabilità che Amedeo vinca il gioco è la somma delle probabilità che vinca nei tre casi citati, cioè:
p + 0 + (1/2)(1-2p) = p + 1/2 - p = 1/2 = 50%
Quindi, il lancio in più a disposizione di Amedeo compensa esattamente il fatto che Pio vince nel caso in cui i due giocatori ottengano lo stesso numero di immagini.
Secondo metodo
Possiamo seguire un procedimento per simmetria, che è più rapido (ma non semplice!). Visto che Amedeo ha più lanci di Pio, si deve verificare uno dei due eventi seguenti: Amedeo ottiene più immagini di Pio oppure Amedeo ha ottiene più scritte di Pio (non è possibile che Pio ottenga sia più volte l'immagine che più volte la scritta di Amedeo).
D’altra parte, siccome Amedeo ha solo un lancio più di Pio, non si possono verificare entrambi gli eventi citati; pertanto, se ne verifica uno e uno solo. Ovviamente i due eventi hanno la stessa probabilità e, quindi, si stabilisce subito che la probabilità cercata è 1/2.
