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Per capire meglio il problema cominciamo facendo qualche esempio.
2020 può essere ottenuto per esempio sommando 1010 con sé stesso.
In questo caso il prodotto è 1010*1010 = 1020100, quindi circa un milione.
2020 può anche essere ottenuto come 500+500+500+500+20.
In questo caso il prodotto è
500*500*500*500*20=500^4*20 = 1.250.000.000.000, quindi circa mille miliardi, molto più di un milione.
Ci accorgiamo, con questi due esempi, che conviene avere tanti fattori piccoli che pochi fattori grandi.
A questo punto si potrebbe dunque pensare di prendere i fattori più piccoli possibile.
Visto che l’1 è da escludersi (il prodotto di tanti 1 fa sempre 1) si potrebbe provare a scrivere 2020=2+2+2+...+2 (utilizzando milledieci 2). In questo caso il prodotto è 2^1010 ed il risultato è veramente enorme (per sapere di più sui numeri grandi guarda la soluzione del numero 12).
È il massimo che si può ottenere?
La risposta, purtroppo, è no.
Per capire il perché proviamo a sostituire 2020 con un numero più piccolo, ad esempio 6.
6 = 2+2+2, il prodotto risulta quindi 2^3 = 8.
Ma 6 = 3+3 e 3*3 fa 9!
Esaminando tutte le altre possibilità (1+5, 4+2, …) ci si rende conto che il prodotto maggiore si ottiene proprio con 3*3.
Consideriamo un altro esempio: il numero 12. Per ottenere il prodotto più grande, è meglio pensare
12 = 3+3+3+3 oppure 12 = 4+4+4 ?
La risposta è facile: 3^4 = 81 è maggiore di 4^3 = 64.
In generale quindi n^3 è sempre più piccolo di 3^n, per un approfondimento a riguardo vai in fondo alla pagina.
La soluzione al problema è, dunque, la seguente:
se il numero dato n è un multiplo di 3, per ottenere il prodotto massimo conviene pensare n come somma di tanti 3.
Se invece n non è multiplo di 3, si considera n-2 (se questo numero è un multiplo di 3) e si aggiunge un addendo 2, oppure n-4 e si aggiungono due addendi uguali a 2.
Nel caso di 2020, dobbiamo quindi scrivere
2020 = 3+3+...+3+2+2 (dove il numero dei 3 è 2016/3 = 672) ottenendo il prodotto massimo possibile 3^672*2^2.
Sì può verificare che, ammettendo non solo i numeri interi ma anche i numeri reali, e^x > x^e per ogni numero x diverso da e, dove e è il numero di Nepero.
Infatti, passando ai logaritmi, si ottiene x > e * ln(x), cioè
x - e*ln(x) > 0, e la funzione x - e*ln(x), come si può vedere in figura, è sempre positiva e vale 0 per x = e.
Il numero intero per cui la funzione ha il valore minore, cioè quel numero intero che meglio approssima il comportamento di e, è ovviamente proprio 3.
